等价无穷小量的使用规范
补充：泰勒展开
等价无穷小量的概念：
注意函数的加减不能直接等价，例如
\lim_{x \to 0}{\frac{x+sinx}{x}}中不能只将sinx变成x，虽然结果不影响，但是是错误的，你需要证明
x+sinx 等价于x+x，要把上述式子看成整体。
等价失败原因
等价使用小结：
分子与分母的次数比为1可直接使用（否则需要用洛必达或者泰勒展开式来升降次数）
常见的函数次数，可以用这个来判断分子分母次数（我是这么认为，如果有不妥，可以跟我讨论一下）
| 一次 | x | sinx | tanx | arctanx | arcsinx | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 二次 | cosx | x^2 |
如求（次数比为一比三）
\lim_{x \to 0}{\frac{tanx-sinx}{x^3}}=?
不能直接用等价： tanx~x，sinx ~x。
失败原因：本质是因为加减可能会导致项的抵消，抵消后，根据分母的阶数可能会需要泰勒展开第一项后的高阶近似，但因为等价无穷小量只取了泰勒展开的第一项，对后续的近似无能为力。
方法一(泰勒展开成三次)：
\lim_{x \to 0}{\frac{tanx-sinx}{x^3}}=\lim_{x \to 0}{\frac{x+\frac{X^2}{3}-x+\frac{X^2}{6}}{x^3}}=\lim_{x \to 0}{\frac{\frac{x^3}{2}}{x^3}}=\frac{1}{2}
tanx-sinx 等价于x+\frac{X^2}{3}-x+\frac{X^2}{6}证明略
当然，也可以用洛必达，可以直接用洛必达，过程有些要思考的地方，可以试试看（多想想）
最近做题，遇见一个很有用的等价无穷小量
\frac{\sqrt(1+tanx)-\sqrt(1+sinx)}{x^3}，的上半部分是否可以直接等价为1+\frac{1}{2}tanx-(1+\frac{1}{2}sinx),答案是肯定可以的
以后见到这个模型可以直接用，就不证明等价了
